SSブログ
超数学 ブログトップ

ゲーデルの不完全性定理 [超数学]

以前から課題としていたゲーデルの不完全性定理について
勉強しています。
解説本によって、大体のことはわかるのですが、
証明を完全に理解しないと理解した気にならないん
ですよね。

自分にとって、証明がなぜ難しいのかまとめておきます。

Ⅰ)証明方法の特殊性
 形式的体系を自ら構築し、その中でしか通用しない
 公理系を設定し、その中でしか通用しない論理
 や推論規則のみを使用し形式的な操作のみに限定して
 証明を行っていること。

Ⅱ)形式的な操作の一つに原始再帰的関数を用いているが
 これを使った自己言及的な証明方法に慣れていないこと。
 そのため証明がしっくりこない原因となっている。

Ⅲ)自然数論とメタ数学の間をゲーデル数を使って
 行き来しているために論理の筋を追うことが難しいこと。

Ⅳ)証明の前提となる定義1~46を完全に理解していないこと。

Ⅴ)なにが要点なのかが、掴みにくいこと
  要点 1)背理法による証明であること。
     2)「相矛盾するゲーデル文が両方とも数値的に表現可能であること」
       が、矛盾であること
     3)ゲーデル文とは「自分は証明できない」と主張している文
     4) 数値的に表現可能とは、ゲーデル数による表現である。
     5)「17」:数項xのゲーデル数
     6)「19」:数項yのゲーデル数
     7)1階述語論理の範囲内で証明
     8)再帰的関数を使って、自己言及してゲーデル文を定義している。
     9)再帰的関数への代入(自己言及)を行って論理式を形式的に変形
     10)原論文では、PMの論理式で、ちょうど1つの自由変数をもち
       ある自然数に関する述語的内容を表すものを「クラス符号」と言う。
     11)対角線論法を使った証明となっている。
     12)ゲーデル文は、自己言及によっても変質しない不動点の様な
        性質を持っている。

Ⅰについては、ヒルベルトプログラムを勉強することで
ある程度は理解できたが、Ⅱ~Ⅳについては、証明を何度も
読み直すしかないかと考えています。勉強不足と言うこと!!
Ⅴは、自分が気付いた要点を記しています。
間違っているかも知れません。(備忘録見たいなものです)


ゲーデル 不完全性定理 (岩波文庫)

ゲーデル 不完全性定理 (岩波文庫)

  • 作者: ゲーデル
  • 出版社/メーカー: 岩波書店
  • 発売日: 2006/09/15
  • メディア: 文庫



この本で、なぜ、こんなにまわりくどい証明方法をとる必要が
あったのかが良く分かりました。



ゲーデルの謎を解く (岩波科学ライブラリー (6))

ゲーデルの謎を解く (岩波科学ライブラリー (6))

  • 作者: 林 晋
  • 出版社/メーカー: 岩波書店
  • 発売日: 1993/11/22
  • メディア: 単行本



この本で、証明の要点を少し、掴む事が出来ました。
何度も読み返しています。

原論文は、古いドイツ語なので、私には読めませんが、
下記の本では日本語訳があり、解説文もありありがたいですね。
ただ、解説が省略されている個所があり、これだけでは難しいですね。

ゲーデルに挑む: 証明不可能なことの証明

ゲーデルに挑む: 証明不可能なことの証明

  • 作者: 田中 一之
  • 出版社/メーカー: 東京大学出版会
  • 発売日: 2012/04/28
  • メディア: 単行本



もう少しというところで、冬休みも終了です。
もうちょっと頑張ろう!
nice!(0)  コメント(0) 
共通テーマ:学問

超数学入門(数学を哲学する方法) [超数学]


メタマス!―オメガをめぐる数学の冒険

メタマス!―オメガをめぐる数学の冒険

  • 作者: グレゴリー チャイティン
  • 出版社/メーカー: 白揚社
  • 発売日: 2007/09
  • メディア: 単行本


・ゲーデルの不完全性定理とチューリングの停止問題の関係とは?
・純粋数学のランダム性とは?
・数学の限界を示すΩ数とは?

本書は数学を哲学したい人に最適な内容となっています。
抽象度を上げて超数学から見ると純粋数学と計算理論や情報理論との関係が見えてくる。
そのへんが、超数学の醍醐味というものと思います。

「数学なしに哲学を深く究めることはできない。
 哲学なしに数学を深く究めることはできない。
 数学も哲学もなしに何事であれ深く究めることはできない。」
                    (文中のライプニッツの引用)
nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:学問
超数学 ブログトップ

この広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。