ゲーデルの不完全性定理 [超数学]
以前から課題としていたゲーデルの不完全性定理について
勉強しています。
解説本によって、大体のことはわかるのですが、
証明を完全に理解しないと理解した気にならないん
ですよね。
自分にとって、証明がなぜ難しいのかまとめておきます。
Ⅰ)証明方法の特殊性
形式的体系を自ら構築し、その中でしか通用しない
公理系を設定し、その中でしか通用しない論理
や推論規則のみを使用し形式的な操作のみに限定して
証明を行っていること。
Ⅱ)形式的な操作の一つに原始再帰的関数を用いているが
これを使った自己言及的な証明方法に慣れていないこと。
そのため証明がしっくりこない原因となっている。
Ⅲ)自然数論とメタ数学の間をゲーデル数を使って
行き来しているために論理の筋を追うことが難しいこと。
Ⅳ)証明の前提となる定義1~46を完全に理解していないこと。
Ⅴ)なにが要点なのかが、掴みにくいこと
要点 1)背理法による証明であること。
2)「相矛盾するゲーデル文が両方とも数値的に表現可能であること」
が、矛盾であること
3)ゲーデル文とは「自分は証明できない」と主張している文
4) 数値的に表現可能とは、ゲーデル数による表現である。
5)「17」:数項xのゲーデル数
6)「19」:数項yのゲーデル数
7)1階述語論理の範囲内で証明
8)再帰的関数を使って、自己言及してゲーデル文を定義している。
9)再帰的関数への代入(自己言及)を行って論理式を形式的に変形
10)原論文では、PMの論理式で、ちょうど1つの自由変数をもち
ある自然数に関する述語的内容を表すものを「クラス符号」と言う。
11)対角線論法を使った証明となっている。
12)ゲーデル文は、自己言及によっても変質しない不動点の様な
性質を持っている。
Ⅰについては、ヒルベルトプログラムを勉強することで
ある程度は理解できたが、Ⅱ~Ⅳについては、証明を何度も
読み直すしかないかと考えています。勉強不足と言うこと!!
Ⅴは、自分が気付いた要点を記しています。
間違っているかも知れません。(備忘録見たいなものです)
この本で、なぜ、こんなにまわりくどい証明方法をとる必要が
あったのかが良く分かりました。
この本で、証明の要点を少し、掴む事が出来ました。
何度も読み返しています。
原論文は、古いドイツ語なので、私には読めませんが、
下記の本では日本語訳があり、解説文もありありがたいですね。
ただ、解説が省略されている個所があり、これだけでは難しいですね。
もう少しというところで、冬休みも終了です。
もうちょっと頑張ろう!
勉強しています。
解説本によって、大体のことはわかるのですが、
証明を完全に理解しないと理解した気にならないん
ですよね。
自分にとって、証明がなぜ難しいのかまとめておきます。
Ⅰ)証明方法の特殊性
形式的体系を自ら構築し、その中でしか通用しない
公理系を設定し、その中でしか通用しない論理
や推論規則のみを使用し形式的な操作のみに限定して
証明を行っていること。
Ⅱ)形式的な操作の一つに原始再帰的関数を用いているが
これを使った自己言及的な証明方法に慣れていないこと。
そのため証明がしっくりこない原因となっている。
Ⅲ)自然数論とメタ数学の間をゲーデル数を使って
行き来しているために論理の筋を追うことが難しいこと。
Ⅳ)証明の前提となる定義1~46を完全に理解していないこと。
Ⅴ)なにが要点なのかが、掴みにくいこと
要点 1)背理法による証明であること。
2)「相矛盾するゲーデル文が両方とも数値的に表現可能であること」
が、矛盾であること
3)ゲーデル文とは「自分は証明できない」と主張している文
4) 数値的に表現可能とは、ゲーデル数による表現である。
5)「17」:数項xのゲーデル数
6)「19」:数項yのゲーデル数
7)1階述語論理の範囲内で証明
8)再帰的関数を使って、自己言及してゲーデル文を定義している。
9)再帰的関数への代入(自己言及)を行って論理式を形式的に変形
10)原論文では、PMの論理式で、ちょうど1つの自由変数をもち
ある自然数に関する述語的内容を表すものを「クラス符号」と言う。
11)対角線論法を使った証明となっている。
12)ゲーデル文は、自己言及によっても変質しない不動点の様な
性質を持っている。
Ⅰについては、ヒルベルトプログラムを勉強することで
ある程度は理解できたが、Ⅱ~Ⅳについては、証明を何度も
読み直すしかないかと考えています。勉強不足と言うこと!!
Ⅴは、自分が気付いた要点を記しています。
間違っているかも知れません。(備忘録見たいなものです)
この本で、なぜ、こんなにまわりくどい証明方法をとる必要が
あったのかが良く分かりました。
この本で、証明の要点を少し、掴む事が出来ました。
何度も読み返しています。
原論文は、古いドイツ語なので、私には読めませんが、
下記の本では日本語訳があり、解説文もありありがたいですね。
ただ、解説が省略されている個所があり、これだけでは難しいですね。
もう少しというところで、冬休みも終了です。
もうちょっと頑張ろう!