ソリトン

ソリトンがひらく新しい数学 (岩波科学ライブラリー (4))

• 作者: 上野 喜三雄
• 出版社/メーカー: 岩波書店
• 発売日: 1993/10/22
• メディア: 単行本

リッチフローの次は、リッチソリトン。
ペレルマンの局所非崩壊定理において、ソリトンという概念が登場する。
良い参考書があったが、品切れなので、図書館で借りよう。
物理的な意味では、ソリトンというのは、粒子の性質をもった波動のことだそうだ。
数学的な意味では、自己相似解を持つ非線形微分方程式であり、
リッチフローからみれば、解の存在や、特定条件を定める特殊解（古代解）を意味するようだ。

微分幾何と相対論

道具としての相対性理論

• 作者: 一石 賢
• 出版社/メーカー: 日本実業出版社
• 発売日: 2005/12/08
• メディア: 単行本

リッチフローを理解するには、曲率テンソルとリッチテンソルの理解が必要だ。

曲率テンソルは、空間自体の曲がり具合を表現しており、
リッチテンソルは、曲率テンソルを縮約したものと定義されている。
縮約の意味するところは、上記の相対論の参考書に解説があった。
ペレルマンの物理的な素養を考えると、相対論の理解は必要と思う。

リッチフロー

ペレルマンの論文をチラ見。
リッチフローというものは、なんだか分けが分からん。
そこで、リッチフロー関連の日本語論文を物色。
なんだか、物理の論文みたいだ。
物理的な意味では、リッチフローはリーマン計量を未知関数とする非線形熱方程式
と考えられるそうな。
微分幾何の知識不足が判明したので、ここは、地道に学習。
良い本が見つかったので、この本を読むことにしよう。

現代微分幾何入門 (基礎数学選書 25)

• 作者: 野水 克己
• 出版社/メーカー: 裳華房
• 発売日: 1981/05/30
• メディア: 単行本

複素多様体のベクトル束とゲージ理論

ゲージ理論を勉強してわかったことの一つとして、「ゲージ場」とは、

数学でいうところの「ベクトル束」の「接続」のことで、両者は同じもの

ということがある。

このように見るとベクトル束の直感的理解が容易になることがわかった。

ベクトル束は、多様体で重要な概念の一つだが、イメージがつかみ

にくかったので、物理を勉強した成果として十分とおもった。

ゲージ理論の入門書としては、下記の書籍がお勧めです。

はじめての“超ひも理論”―宇宙・力・時間の謎を解く (講談社現代新書)

• 作者: 川合 光
• 出版社/メーカー: 講談社
• 発売日: 2005/12
• メディア: 新書

また、「ゲージ場」と「ベクトル束」（ここの図では、ファイバーバンドル）の

関係を易しく図示してあるのは、下記の書籍の「ヤン－ミルズ理論の存在

と質量ギャップ」の章にあります。

数学21世紀の7大難問 (ブルーバックス)

• 作者: 中村 亨
• 出版社/メーカー: 講談社
• 発売日: 2004/01/21
• メディア: 新書

「ヤン－ミルズ理論の存在と質量ギャップ」問題とは、アメリカのクレイ数学

研究所が数学の研究発展を刺激するために厳選した、未解決の難問７題の

うちの一つで、１００万ドルの懸賞金が掛けられているものです。

 

注意）ベクトル束は、ファイバーがベクトル空間であるような、ファイバー束

　　　の特別なものです。念のため記す。

数学と物理学の相互作用

ストリング理論は科学か―現代物理学と数学

• 作者: ピーター・ウォイト
• 出版社/メーカー: 青土社
• 発売日: 2007/10
• メディア: 単行本

あるきっかけで、この本を読むことになりました。 著者の主張としては、ストリング理論は、実験結果による検証という統制を受けていないので、物理学 とは、いえないということです。　つまり、数学的な手法によって作り出された予想に過ぎないということ。 しかし、数学と物理の相互作用というか、互いの影響力の大きさに非常に興味をひかれました。 今後、ゲージ理論やストリング理論も勉強してみたくなりました。 小平邦彦、佐藤幹夫の両先生が物理学科も卒業されているのは、ナンセンスでないことは、トリビアル でしょうか？