古典的タイヒミュラー理論について：インターネット数学研究所：SSブログ

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古典的タイヒミュラー理論について [編集]

古典的なタイヒミュラー理論について、少しづつ分かってきたので、
簡単にまとめておきたいと思います。
一般の方にも理解できるように、数式を使わずにいきたいと思います。

・タイヒミュラー理論とは、リーマン面の分類理論である。
・リーマン面とは、高校数学で習う複素平面を一般化した概念で
　　　例としては、トーラスやアニュラス、開円板等がある。
　　　　トーラスとは、ドーナツの表面の様なもの
　　　　アニュラスとは、ちくわの切り口ようなもの（穴の空いた円板）
　　　　開円板とは、平らなお皿のようなもの
・リーマン面は、一次元複素多様体とみなせる。
・リーマン面の一意化とは、任意の単連結リーマン面を分類したときに
　かならず、下記の３つのどれか一つの分類に属することが言えるということ。
　　　｛開円板｝、｛複素平面｝、｛リーマン球面｝

・リーマン面は、作用するフックス群によって分類できる。

・フックス群とは、複素平面の上半平面H で不連続なPSL(2;R) の離散部分群，
　または単位円板Dで不連続なPSU(1; 1) の離散部分群のことである。

・上半平面Ｈとは、複素数の虚数部分が０より大きい複素平面の一部分を表す。
　つまり、複素平面の上半分を表す。

・PSL(2;R) とは、射影特殊線形群といわれる線形群を表す。

・射影特殊線形群とは、特殊線形群の元を一次変換として同じものを
　同一視することでできる群。

・特殊線形群とは２次元正方行列 /a b\ で、
　　　　　　　　　　　　　　　 \c d/
　行列のすべての要素が、実数で、a; b; c; d ∈ Ｒ;
　 ad − bc = 1　という条件を満たす群。

・群とは、集合 G とその集合上の二項演算 ⋅の組が、下記の３条件を満たす集合。
　　G1．（結合法則）
　　　　任意の a,b,c∈G に対して(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
　　G2．（単位元の存在）
　　　　ある e∈G が存在して，任意の a∈G に対して a⋅e=e⋅a=a を満たす。
　　G3．（逆元の存在）
　　　　任意の a∈G に対して b⋅a=a⋅b=e を満たす b∈G が存在する。

・離散部分群とは、もとの群の不連続な部分集合であり、それ自身が群として
　閉じているもの。

フックス群が絡んでくると、ちょっと難しくなりますね。
複素解析と双曲幾何と代数の３つが全て絡んでくるので面白いところではあります。
さらに、保型形式等の数論との関係も見えてきました。

リーマン面とフックス群の関係については、この本の解説が分かりやすいと思いました。

例題形式で探求する複素解析と幾何構造の対話 (SGCライブラリ 159)

作者: 志賀啓成
出版社/メーカー: サイエンス社
発売日: 2020/05/22
メディア: 単行本

なお、最近はこの本を読みながら勉強しています。

複素多様体論

作者: 小平邦彦
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 1992/01/21
メディア: 単行本

良い本と言うのは、読むと頭が鍛えられる本のことと了解しました。

フックス群は、クライン群となるので、今回の勉強のおかげで
下記の本がなんとか読めるようになってきました。
サーストンの幾何化予想が証明されたときに挑戦した本ですが、
力不足のため、保留していたのが、読めるようになったのは、
嬉しいことです。