古典から近代へ [代数幾何]
いよいよ古典理論から近代へと歩を進めようと思います。
いきなりＰ進世界へと考えていましたが、甘かったです。
まずは、古典から近代理論をへてようやく現代理論へと
進む事が出来そうです。
まずは、リーマン面から代数曲線への橋渡しとして
下記の書籍を目標としたいと思っています。
とりあえず、ネット上で色々な文献をアサっています。
大変、ためになる文献も何件かみつかりました。
代数曲線論については、代数幾何的なアプローチの本と
複素解析的なアプローチの本にわかれる様ですね。
代数幾何的なアプローチの本は、
複素解析的なアプローチの本は、
などがあるようです。
ということで、今は代数幾何の復習で、スキーム論等を勉強中です。
以前、勉強したこともすっかり忘れています。
いきなりＰ進世界へと考えていましたが、甘かったです。
まずは、古典から近代理論をへてようやく現代理論へと
進む事が出来そうです。
まずは、リーマン面から代数曲線への橋渡しとして
下記の書籍を目標としたいと思っています。
- 作者: 寺杣友秀
- 出版社/メーカー: 森北出版
- 発売日: 2019/11/29
- メディア: 単行本（ソフトカバー）
とりあえず、ネット上で色々な文献をアサっています。
大変、ためになる文献も何件かみつかりました。
代数曲線論については、代数幾何的なアプローチの本と
複素解析的なアプローチの本にわかれる様ですね。
代数幾何的なアプローチの本は、
- 作者: 梶原 健
- 出版社/メーカー: 日本評論社
- 発売日: 2004/08/01
- メディア: 単行本
- 作者: 小木曽 啓示
- 出版社/メーカー: 朝倉書店
- 発売日: 2002/05/01
- メディア: 単行本
複素解析的なアプローチの本は、
- 出版社/メーカー: 共立出版
- 発売日: 2015/06/10
- メディア: 単行本
などがあるようです。
ということで、今は代数幾何の復習で、スキーム論等を勉強中です。
以前、勉強したこともすっかり忘れています。
古典的タイヒミュラー理論について
古典的なタイヒミュラー理論について、少しづつ分かってきたので、
簡単にまとめておきたいと思います。
一般の方にも理解できるように、数式を使わずにいきたいと思います。
・タイヒミュラー理論とは、リーマン面の分類理論である。
・リーマン面とは、高校数学で習う複素平面を一般化した概念で
例としては、トーラスやアニュラス、開円板等がある。
トーラスとは、ドーナツの表面の様なもの
アニュラスとは、ちくわの切り口ようなもの（穴の空いた円板）
開円板とは、平らなお皿のようなもの
・リーマン面は、一次元複素多様体とみなせる。
・リーマン面の一意化とは、任意の単連結リーマン面を分類したときに
かならず、下記の３つのどれか一つの分類に属することが言えるということ。
｛開円板｝、｛複素平面｝、｛リーマン球面｝
・リーマン面は、作用するフックス群によって分類できる。
・フックス群とは、複素平面の上半平面H で不連続なPSL(2;R) の離散部分群，
または単位円板Dで不連続なPSU(1; 1) の離散部分群のことである。
・上半平面Ｈとは、複素数の虚数部分が０より大きい複素平面の一部分を表す。
つまり、複素平面の上半分を表す。
・PSL(2;R) とは、射影特殊線形群といわれる線形群を表す。
・射影特殊線形群とは、特殊線形群の元を一次変換として同じものを
同一視することでできる群。
・特殊線形群とは２次元正方行列 /a b\ で、
\c d/
行列のすべての要素が、実数で、a; b; c; d ∈ Ｒ;
ad − bc = 1 という条件を満たす群。
・群とは、集合 G とその集合上の二項演算 ⋅の組が、下記の３条件を満たす集合。
G1．（結合法則）
任意の a,b,c∈G に対して(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
G2．（単位元の存在）
ある e∈G が存在して，任意の a∈G に対して a⋅e=e⋅a=a を満たす。
G3．（逆元の存在）
任意の a∈G に対して b⋅a=a⋅b=e を満たす b∈G が存在する。
・離散部分群とは、もとの群の不連続な部分集合であり、それ自身が群として
閉じているもの。
フックス群が絡んでくると、ちょっと難しくなりますね。
複素解析と双曲幾何と代数の３つが全て絡んでくるので面白いところではあります。
さらに、保型形式等の数論との関係も見えてきました。
リーマン面とフックス群の関係については、この本の解説が分かりやすいと思いました。
なお、最近はこの本を読みながら勉強しています。
良い本と言うのは、読むと頭が鍛えられる本のことと了解しました。
フックス群は、クライン群となるので、今回の勉強のおかげで
下記の本がなんとか読めるようになってきました。
サーストンの幾何化予想が証明されたときに挑戦した本ですが、
力不足のため、保留していたのが、読めるようになったのは、
嬉しいことです。
簡単にまとめておきたいと思います。
一般の方にも理解できるように、数式を使わずにいきたいと思います。
・タイヒミュラー理論とは、リーマン面の分類理論である。
・リーマン面とは、高校数学で習う複素平面を一般化した概念で
例としては、トーラスやアニュラス、開円板等がある。
トーラスとは、ドーナツの表面の様なもの
アニュラスとは、ちくわの切り口ようなもの（穴の空いた円板）
開円板とは、平らなお皿のようなもの
・リーマン面は、一次元複素多様体とみなせる。
・リーマン面の一意化とは、任意の単連結リーマン面を分類したときに
かならず、下記の３つのどれか一つの分類に属することが言えるということ。
｛開円板｝、｛複素平面｝、｛リーマン球面｝
・リーマン面は、作用するフックス群によって分類できる。
・フックス群とは、複素平面の上半平面H で不連続なPSL(2;R) の離散部分群，
または単位円板Dで不連続なPSU(1; 1) の離散部分群のことである。
・上半平面Ｈとは、複素数の虚数部分が０より大きい複素平面の一部分を表す。
つまり、複素平面の上半分を表す。
・PSL(2;R) とは、射影特殊線形群といわれる線形群を表す。
・射影特殊線形群とは、特殊線形群の元を一次変換として同じものを
同一視することでできる群。
・特殊線形群とは２次元正方行列 /a b\ で、
\c d/
行列のすべての要素が、実数で、a; b; c; d ∈ Ｒ;
ad − bc = 1 という条件を満たす群。
・群とは、集合 G とその集合上の二項演算 ⋅の組が、下記の３条件を満たす集合。
G1．（結合法則）
任意の a,b,c∈G に対して(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
G2．（単位元の存在）
ある e∈G が存在して，任意の a∈G に対して a⋅e=e⋅a=a を満たす。
G3．（逆元の存在）
任意の a∈G に対して b⋅a=a⋅b=e を満たす b∈G が存在する。
・離散部分群とは、もとの群の不連続な部分集合であり、それ自身が群として
閉じているもの。
フックス群が絡んでくると、ちょっと難しくなりますね。
複素解析と双曲幾何と代数の３つが全て絡んでくるので面白いところではあります。
さらに、保型形式等の数論との関係も見えてきました。
リーマン面とフックス群の関係については、この本の解説が分かりやすいと思いました。
例題形式で探求する複素解析と幾何構造の対話 (SGCライブラリ 159)
- 作者: 志賀 啓成
- 出版社/メーカー: サイエンス社
- 発売日: 2020/05/22
- メディア: 単行本
なお、最近はこの本を読みながら勉強しています。
- 作者: 小平 邦彦
- 出版社/メーカー: 岩波書店
- 発売日: 1992/01/21
- メディア: 単行本
良い本と言うのは、読むと頭が鍛えられる本のことと了解しました。
フックス群は、クライン群となるので、今回の勉強のおかげで
下記の本がなんとか読めるようになってきました。
サーストンの幾何化予想が証明されたときに挑戦した本ですが、
力不足のため、保留していたのが、読めるようになったのは、
嬉しいことです。
- 出版社/メーカー: 日本評論社
- 発売日: 1993/09/01
- メディア: 単行本
